چند تا مسئله

 

تشخیص جعبه ی ساچمه های سبک

ما۱۰ جعبه ی بزرگ پر از ساچمه داریم که ۹ جعبه شامل ساچمه های ۱۰ گرمی و یک جعبه محتوی ساچمه های ۹گرمی است.حجم تمام ساچمه ها یکی بوده و به ظاهر فرقی باهم ندارند و چشم ما قادر به تشخیص آنها نبوده.یک ترازوی یک کفه ای دقیق نیز در اختیار ماست اما فقط یک بار حق استفاده ازآن را داریم.چگونه می توانیم جعبه ی ساچمه های ۹گرمی را مشخص کنیم؟ آیا به راستی این کار تنها با یکبار توزین ممکن است؟

چند ثانیه طول میکشد؟

دو نفر سرعت شلیک اسلحه ی خود را باهم مقایسه میکنند:اولی ۷ گلوله در۷ثانیه شلیک میکند و دومی ۵گلوله در ۵ثانیه.اندازه گیری زمان به وسیله ی کرنومتر انجام میگیرد به این ترتیب که با شنیده شدن اولین صدای کرنومتر به کار می افتد و به محض بلند شدن آخرین صدا از کار می افتد.فرض بر این است که شلیک  آنی بوده و این ۷ثانیه و ۵ثانیه هم مربوط به مجموع فواصل زمانی بین شلیکها است.

با مفروضات فوق می خواهیم مسئله ی کوچک زیر را حل کنید: اگر  هر کدام ازاین دونفر ۱۳ شلیک پیاپی

داشته باشند زمان لازم برای هر کدام چند ثانیه خواهد بود؟

چند ریال باید بپردازیم؟

از یک مغازه ی لوازم تحریر فروشی یک پاکت نامه/یک مداد/یک خودکارویک خودنویس خریدیم.صاحب فروشگاه هنگام محاسبه ی بهای این چهار جنس در ماشین حساب ـازروی اشتباه ـ به دکمه ی × فشار آورد٬ودر نتیجه ماشین حساب قیمت ۳۱۷۰۶۴۹ ریال را نشان داد.اما او فورا متوجه اشتباه خود شد.و این بار قیمت را با فشار آوردن به + محاسبه نمود. به نظر شما ماشین حساب چه عددی را نشان خواهد داد؟ در صورتی که بهای هر جنس به ریال عددی صحیح است.

درجزیره ی راستگویان و دروغ گویان

ساکنان یک جزیره از دو گروه تشکیل یافته اند: بومیها و خارجیها. همه ی بومیان راستگو هستند٬ و تمام خارجیها دروغگو . یک مسافر که ازاین موضوع باخبر است٬ وارد جزیره میشود. وی برای گردش در جزیره از یک راهنما کمک میگیرد٬که ساکن آنجا ست٬ولی مسافر ما نمی داند٬ که او دروغ گو است یا راستگو. آنها سر راه به یکی از ساکنان آنجا برخورد کردند . مسافر راهنمای خود را پیش او می فرستد٬ تا از وی بپرسد: آیا بومی است یا خارجی ؟ راهنما بر میگردد٬ و پاسخ می دهد : او می گوید که بومی هستم . ومسافر زرنگ فورا پی می برد ٬ که راهنمایش از کدام گروه است. چگونه؟

مدت سبقت گرفتن

دو ترن بر روی دو خط آهن موازی - که همجهت با یکدیگر حرکت میکنند - از کنار هم میگذرند. سرعت ثابت یکی ۵۵ ٬ و دیگری ۴۳ کیلومتر برساعت است. اگر طول هر ترن ۲۲۵ فرض شود ٬ چه مدت طول میکشد تا یکی از قطار ها بر دیگری سبقت جوید؟

 

با چند درصد سود ؟

یک تاجر تخم مرغ مقداری جنس خرید . نصف ثلث ربع آنها فاسد شد . او می خواهد  در این معامله نصف ثلث ربع پول پرداختی خود را سود ببرد . هر کیلوگرم از آنها را با چند درصد سود باید بفروشد ؟

 

یک سوال از توابع و یک سوال از هندسه!!!

سوال (۱):

تمام توابع را که مجموعه اعداد گویا و مثبت است طوری پیدا کنید که برای هر عدد گویا و مثبت x داشته باشیم:

سوال(2):

در مثلث حاده الزاویه ABC داریم .اگر H و I و O به ترتیب محل تلاقی ارتفاعات ، مرکز دایره محیطی و مرکز دایره محاطی مثلث  ABC باشند و  BH=OI ، زوایای مثلث ABC را پیدا کنید.

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم

واما جواب سوالات از دو پست قبل - یک سوال از هندسه و یک سوال از احتمالات-.

جواب سوال (1):

فرض کنید در هر ضلع قاعده n کره قرار گرفته باشد.در ردیف اول کره ، در ردیف بعدی کره و ...قرار دارند.به همین ترتیب داریم

پس

که یک جواب آن n=8 است.اگر کل عبارت را به  n-8 تقسیم کنیم داریم که جواب حقیقی ندارد ، پس n=8 تنها جواب است یعنی در قاعده کره قرار خواهد داشت.

جواب سوال (2):
این دو متحرک فقط روی قطر عمود بر AB می توانند به هم برخورد کنند.تعداد حرکتهای ممکن است.حالات مساعد به موارد زیر امکانپذیر است:
الف)B چهار مرحله متوالی افقی و A چهار مرحله عمودی را انتخاب کند

ب) B سه مرحله افقی و یک مرحله عمودی و A سه مرحله عمودی و یک مرحله افقی انتخاب کند

ج)B دو مرحله افقی و دو مرحله عمودی و A دو مرحله عمودی و دو مرحله افقی انتخاب کند

د)B یک مرحله افقی و سه مرحله عمودی و A یک مرحله عمودی و سه مرحله افقی انتخاب کند

ه)B هر چهار مرحله را عمودی و A هر چهار مرحله را افقی انتخاب کند

پس

و در اینجا حل مسائل کامل است.

Poincare Conjecture (حدس پوانکاره)

احتمالا درباره‌ي جايزه‌ي کلي (Clay Prize) شنيديد. در رياضي ،۷ مسأله‌ي مهم هست که هنوز حل نشده‌اند و مؤسسه‌ي کلي براي حل هر کدام از اين مسأله‌ها يک ميليون دلار جايزه مي‌دهد که واقعا براي حل چنين مسائلي قابل توجه نيست.
يکي از اين مسأله‌ها حدس پوانکاره (Poincare Conjecture) هست. حدس پوانکاره بيش از ۱۰۰ سال هست که مطرح شده و تا بحال کسي آن را حل نکرده بود. ولي ظاهرا يک رياضی‌دان روس اين مسأله را حل کرده است.
توضيح اين که حدس پوانکاره چيست يک خرده سخت است. با اين حال خود حدس خيلي ساده هست و تعجب مي‌کنيد چه‌طور اين همه مدت کسي اين مسأله را حل نکرده بود. حدس اين هست: هر منی‌فلد سه‌بعدي هم‌بند ساده‌ي بسته با يک کره‌ي ۳ بعدي هم‌ريخت هست. حالا اين يعني چي؟
منی‌فلد (Manifold) يعني يک سطح که به صورت موضعي تخت به نظر بياد. مثلا سطح کره‌ي زمين يک منی‌فلد دوبعدي هست. هم‌بند ساده‌ و بسته (Closed and Simply Connected) يعني اين که در سطح سوراخي نباشه. يک مثال ساده فنجان قهوه‌خوري شما هست. داخل دسته‌ي فنجان يک سوراخ هست. پس سطح فنجان يک منی‌فلد هم‌بند بسته نيست. هم‌ريخت (Homeomorphic) هم يعني اين که هندسه‌ي دو سطح ممکن هست فرق کنه ولي توپولوژي اون‌ها يکي هست.
حالا يک توپ را در نظر بگيريد. دور خط استواي توپ يک کش لاستيکي ببنديد. کش را به طرف قطب شمال توپ حرکت بدهید. در نهايت کش در قطب شمال به يک نقطه تبديل می شود. اثبات می کنیم هر وقت بتوانيد کش را به يک تقطه تبديل کنيد، آن شکل يک کره هست.
حالا حدس پوانکاره می گوید اگر شما منی‌فلدي سه‌بعدي داشته باشيد و بتوانيد يک کش را به همين طريق به يک نقطه تبديل کنيد، ان سطح بايد يک کره‌ي سه‌بعدي باشد.
مسأله به نظر خيلي پيچيده نمي‌آید، ولي از آنجا که سخت بوده  ، بعد از ۱۰۰ سال حل شده است. کسي که اين قضيه را اثبات کرده گريشا پرلمن (Grisha Perelman) هست و احتمالا با اين حل نه تنها جايزه‌ي کلي که جايزه‌ي فيلدز را هم مي‌برد. جايزه‌ي فيلدز چيزي در حد نوبل براي رياضي هست.

برای آشنایی بیشتر با حدس پوانکاره (البته به صورت Ref ) فایل زیر را مشاهده نمایید:
www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf

همچنین :
http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture

برخی از دوستان ، مسائل حل نشده (Unsolve Problem's) که توسط موسسه کلی مطرح شده و جوایز یک میلیون دلاری برای حل هریک از آنها قرار داده شده را خواسته اند. مسائل به قرار زیر می باشد:

 Birch & swinnerton-Dyer Conjecture

 Hodge Conjecture

 Navier – stockes Equations

 P vs NP

  ( حل شده است)Poincare Conjecture

Riemann Hypothesis

 Yong – Mills theory

لازم به ذکر است که ، اثباتی از حدس پوانکاره ، که توسط دو تن از ریاضیدانان چینی ، بنامهای
Hual - Dong Cao & Xi -Ping Zhu  مطرح شده است(که ظاهرا جواب آنها مورد قبول واقع نشده است) را در لینک زیر می توانید مشاهد نمایید.
328 صفحه - حجم    2.10MB               برای مشاهده اینجا را کلیک کنید

 

یک سوال از ترکیبات و یک سوال از حساب دیفرانسیل

سوال (۱):(که فکر می کنم سوال کمی سخت باشد)
تعداد جایگشتهای مجموعه را که دقیقا k  نقطه را ثابت نگه می دارند با نمایش می دهیم .ثابت کنید که

سوال(2):(به دلیل سختی سوال 1 سوال 2 را آسان انتخاب نموده ام)
توابع و مفروضند به طوری که
                                                                    
مطلوب است تعیین مشتق f در نقطه دلخواه x .

منتظر جوابهای شما عزیزان هستم.

واما جواب دو سوال از پست قبل:

جواب سوال (1):
برای هر داریم

اگر a و b را دو عدد طبیعی بگیریم

از طرف دیگر

می گیریم .پس

و در اینجا حل مساله کامل است.

جواب  سوال (2):
را نقاط برخورد امتدادهای AI و AH با دایره می گیریم.

از نتیجه می شود

منبع: http://www.euler.blogfa.com/ سایت قشنگی است پیشنهاد میکنم شما هم بروید

هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          يادداشت علمى

در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

هندسه نااقليدسي و انحناي فضا

مقدمه

علومي كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتني بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يكي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود كه آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.

در هندسه ي اقليدسي يكسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي كردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات "اصل توازي" مبتكر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان كردند و هندسه هاي نااقليدسي شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.

1-5 اصطلاحات بنيادي رياضيات

طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوششهاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.

بنابراين، اينكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه كه مي گوييم درست است.

دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنكه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.

بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.

2-5 اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي

هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر كشيد.

اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.

اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.

اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.

در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و ... تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به كار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.

يانوش بويوئي يكي از رياضيدانان جواني بود كه در اين را تلاش مي كرد. پدر وي نيز رياضيداني بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود .

و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است، التماس مي كنم دانش موازيها را رها كني.

ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا كه انديشه ي كاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازي اقليدس، حكم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.

بعدها مشخص شد كه لباچفسكي در سال 1829 كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئي منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسكي ثبت گرديد.

3-5 هندسه هاي نا اقليدسي

اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟ هر هندسه اي غير از اقليدسي را نا اقليدسي مي نامند. از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه هاي نا اقليدسي و اقليدسي تنها در اصل توازي است. در هندسه اقليدسي به ازاي هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن يك خط مي توان موازي با آن رسم كرد.

نقيض اين اصل را به دو صورت مي توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازي كه از يك نقطه نا واقع بر آن، مي توان رسم كرد، بيش از يكي است. و يا اصلاً خطوط موازي وجود ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه هاي نا اقليدسي را مي توان به دو گروه تقسيم كرد.

يك - هندسه هاي هذلولوي

هندسه هاي هذلولوي توسط بويوئي و لباچفسكي بطور مستقل و همزمان كشف گرديد.

اصل توازي هندسه هذلولوي - از يك خط و يك نقطه ي نا واقع بر آن دست كم دو خط موازي با خط مفروض مي توان رسم كرد.

دو - هندسه هاي بيضوي

در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد كه اگر نامتناهي بودن خط مستقيم كنار گذاشته شود و صرفاً بي كرانگي آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل جزئي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. پس از اين تغييرات اصل توازي هندسه بيضوي بصورت زير ارائه گرديد.

اصل توازي هندسه بيضوي - از يك نقطه ناواقع بر يك خط نمي توان خطي به موازات خط مفروض رسم كرد.

يعني در هندسه بيضوي، خطوط موازي وجود ندارد. با تجسم سطح يك كره مي توان سطحي شبيه سطح بيضوي در نظر گرفت. اين سطح كروي را مشابه يك صفحه در نظر مي گيرند. در اينجا خطوط با دايره هاي عظميه كره نمايش داده مي شوند. بنابراين خط ژئودزيك يا مساحتي در هندسه بيضوي بخشي از يك دايره عظيمه است.

در هندسه بيضوي مجموع زواياي يك مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوي با حركت از يك نقطه و پيمودن يك خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت. همچنين مي توان ديد كه در هندسه بيضوي نسبت محيط يك دايره به قطر آن همواره كمتر از عدد پي است.

4-5 انحناي سطح يا انحناي گائوسي

اگر خط را راست فرض كنيم نه خميده، چنانچه ناگزير باشيم يك انحناي عددي k به خطي نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o انحناي يك دايره به شعاع r برابر است با k=1/r.

تعريف مي كنند. همچنين منحني هموار، منحني اي است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پيوسته تغيير كند. به عبارت ديگر منحني هموار يعني در تمام نقاطش مشتق پذير باشد.

براي به دست آوردن انحناي يك منحني در يك نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحناي منحني در آن نقطه برابر با انحناي دايره ي بوسان در آن نقطه است. دايره بوسان در يك نقطه از منحني، دايره اي است كه در آن نقطه با منحني بيشترين تماس را دارد. توجه شود كه براي خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بينهايت است.

براي تعيين انحناي يك سطح در يك نقطه، دو خط متقاطع مساحتي در دو جهت اصلي در آن نقطه انتخاب كرده و انحناي اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي كنيم. فرض كنيم انحناي اين دو خط

k1=1/R1 and k2=1/R2

باشند. آنگاه انحناي سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعني :

k=1/R1R2

انحناي صفحه ي اقليدسي صفر است. همچنين انحناي استوانه صفر است:

k=o

براي سطح هذلولوي همواره انحناي سطح منفي است :

k

براي سطح بيضوي همواره انحنا مثبت است :

k>o

در جدول زير هر سه هندسه ها با يكديگر مقايسه شده اند:

نوع هندسه	تعداد خطوط موازي	مجموع زواياي مثللث	نسبت محيط به قطر دايره	اندازه انحنا
اقليدسي	يك	180	عدد پي	صفر
هذلولوي	بينهايت	< 180	> عدد پي	منفي
بيضوي	صفر	> 180	< عدد پي	مثبت

4-6 مفهوم و درك شهودي انحناي فضا

سئوال اساسي اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟

پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. بهترين دانشي كا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يك سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيك است. يك صفحه ي كاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم كنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين كرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي كه مثبت شود، ادعا مي كنيم كه صفحه بيضوي است .

در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچگونه مشكلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يك كشور اصول هندسه ي اقليدسي را بكار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي كنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطكش هايي كه در آزمايشگاه يا كارخانه ها ساخته مي شود، استفاده كنيم. حال سئوال اين است كه اگر خطكش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطكش ما تلاش مي كنيم از بهترين ماده ي ممكن استفاده كنيم. بهمين دليل چوب از لاستيك بهتر است و آهن بهتر از چوب است.

اما براي مصافتهاي دور نظير فواصل نجومي از چه خطكشي (متري) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خطكشي وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امكاناتي توجه كنيم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امكاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الكترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا كنيم كه فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .

اما تجربه نشان مي دهد كه مسير نور هنگام عبور از كنار ماده يعني زماني كه از يك ميدان گرانشي عبور مي كند، خط مستقيم نيست، بلكه منحني است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.

منبع :www.cph-theory.persiangig.com

هندسه4

گر همواره مانند گذشته بينديشيد، هميشه همان چيزهايي را به‌دست مي‌آوريد كه تا بحال كسب كرده‌ايد  فاينمن   کتاب الکترونیکی فیزیک از آغاز تا امروز     فصل شش  آزاد اندیشی ریاضی  هندسه نااقلیدسی و انحنای فضا

 

مقدمه

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد

در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتکر مفهوم عميقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات اين اصل، خيام گزاره هايی را بيان کرد که کاملا مطابق گزاره هايی بود که چند قرن بعد توسط واليس و ساکری رياضيدانان اروپايی  بيان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقليدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید

 

1-6

اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند

بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است

دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند

بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت

 

2-6

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کسید

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید

یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود

و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی

ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است

بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید

 

3-6

 هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد

نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد

 

یک - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید

اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد

توجه به این نکته ضروری است که صفحه ی هذلولوی با صفحه ی اقلیدسی تفاوت دارد

در شکل 1 خظوط

EF and AB , EF and CD

موازی هستند. اما خطوط

AB and CD

متقاطع هستند. در این هندسه کوتاهترین فاصله بین دو نقطه خط ژئودزیک یا خط مساحتی است. در هندسه هذلولوی مجموع زوایای یک مثلث کمتر از 180 درجه است. و علاوه بر آن مستطیل وجود ندارد. در هندسه هذلولوی اگر دو مثلث متشابه باشند، قابل انطباق هستند. همچنین نسبت محیط یک دایره به قطرش بزرگتر از عدد پی است

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید

اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد

یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است

 

4-6

 انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی

k

به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت

k=o

انحنای یک دایره به شعاع

r

برابر است با

k=1/r

تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد

برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است

برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط

k1=1/R1 and k2=1/R2

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی

k=1/R1R2

 انحنای  صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است

 k=o

برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است

k<o

برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است

k>o  

در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند

 

نوع هندسه	تعداد خطوط موازی	مجموع زوایای مثللث	نسبت محیط به قطر دایره	اندازه انحنا
اقلیدسی	یک	180	عدد پی	صفر
هذلولوی	بینهایت	<180	< عدد پی	منفی
بیضوی	صفر	>180	> عدد پی	مثبت

 

4-6

مفهوم و درک شهودی انحنای فضا

سئوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟

پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است

در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سئوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است

اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم

اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است

ریاضی2

قضیه ای مهم اما فراموش شده

دست نویس های جبرخطی ام رو مرتب می کردم که به یه قضیه جالب از مجله ماهانه ریاضی آمریکا برخوردم. حیفم اومد قضيه رو تو وبلاگ نزارم.

قضیه: اگر A_n-1*n ماتريسي از اعداد صحيح باشد به طوريكه مجموع اعداد هر سطر آن صفر گردد آنگاه

|AA^t|=nk²

 بطوريكه k يك عدد صحيح و A^t ترانهاده ماتريس A ميباشد.
اثبات: براي ساده كردن اثبات و به دست آوردن مقدار k ماتريس A را افراز مي كنيم. بدين منظور مي نويسيم:

A=(B,Bc) به قسمي كه c=(-1,-1,...,-1)_1*n-1 , B_n-1*n-1

در اينصورت با جايگذاري معادل ماتريس A مي توان گفت:

|AA^t|=|BB^t+Bc^tcB^t|=|B(I+c^tc)B^t|=|B|²|I+c^tc|

از آنجايي كه |I+c^tc| مقدارش برابر n ميباشد لذا داريم:

|AA^t|=n|B|²

بدين صورت اثبات به پايان مي رسد. نكته اي كه شما در اين اثبات بايد در پي آن باشيد اين است كه چرا افراز فوق را براي ماتريس A ميتوان در نظر گرفت؟

ریاضی1

ریاضی 

 هدف

«رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيت‌هاي ظاهرا پيچيده‌ نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند كه ما را قادر مي‌سازند تا اين نظم را توصيف كنيم» .

دكتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه تربيت معلم تهران نيز در معرفي اين علم مي‌گويد:

«علم رياضي، قانونمند كردن تجربيات طبيعي است كه در گياهان و بقيه مخلوقات مشاهده مي‌كنيم . علوم رياضيات اين تجربيات را دسته‌بندي و قانونمند كرده و همچنين توسعه مي‌دهند.»

دكتر رياضي استاد رياضي و رئيس دانشگاه صنعتي اميركبير نيز در معرفي اين علم مي‌گويد: «رياضيات علم مدل‌دهي به ساير علوم است. يعني زبان مشترك نظريات علمي ساير علوم ، علم رياضي مي‌باشد و امروزه اگر علمي را نتوان به زبان رياضي بيان كرد، علم نمي‌باشد.»

اهداف گرايش‌هاي مختلف اين رشته عبارتنداز:

1- رياضي كاربردي: هدف از اين شاخه تربيت كارشناسي است كه با اندوخته كافي از دانش رياضي، توانايي تحليل كمي از مسائل صنعتي، اقتصادي و برنامه‌ريزي را كسب نموده، توان ادامه تحصيل در سطوح بالاتر را داشته باشد.

2- رياضي محض: هدف از اين شاخه رياضي، تربيت متخصصان جامع در علوم رياضي است كه آمادگي لازم براي ادامه تحصيل در جهت اشتغال به پژوهش و نيز انتقال علم رياضي در سطوح دانشگاهي را داشته باشند. آشنايي با تجزيه و تحليل مسائل در قالب رياضي و مدل‌سازي رياضي نيز از اهداف ديگر شاخه رياضي محض است.

3- رياضي دبيري: هدف از شاخه دبيري تربيت دبيران و كارشناسان متخصص آموزش رياضي است كه پاسخگوي نيازهاي آموزش و پرورش كشور در سطوح پيش‌دانشگاهي باشند.

ماهيت :

« رياضيات بر خلاف تصور بعضي از افراد يكسري فرمول و قواعد نيست كه هميشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده كرد بلكه رياضيات درست فهميدن صورت مساله و درست فكر كردن براي رسيدن به جواب است و براي به دست آوردن اين توانايي ، دانشجو بايد صبر و پشتكار لازم را داشته باشد تا بتواند حتي به مدت چندين ساعت در مورد يك مساله رياضي فكر كرده و در نهايت با ابتكار و خلاقيت آن را حل كند»

فارغ‌التحصيلان اين رشته مي‌توانند پس از پايان تحصيلات، در ادارات دولتي براي مسووليتهايي كه به نوعي با تجزيه و تحليل مسائل سروكار دارند، در بخش‌ خصوصي در اموري همانند طراحي سيستمها در امر بهينه‌سازي و بهره‌وري ، در بخش صنعت براي اموري همانند مدل‌سازيهاي رياضي و در آموزش و پرورش و ... ، مسووليتهاي متفاوتي را به عهده گيرند.

گرايش‌‌هاي مقطع ليسانس:

«رئيس اتحاديه بين‌المللي رياضيدانان جهان در يازدهمين اجلاس آكادمي جهان سوم كه اخيرا در تهران برگزار شد، عنوان كرد كه بهتر است بگوييم رياضيات و كاربردهاي آن، نه اينكه رياضيات را به محض و كاربردي تفكيك كنيم چرا كه به اعتقاد رياضيدانها هيچ مقوله رياضي نيست كه روزي كاربردي براي آن پيدا نشود.»

«رياضيات محض بيشتر به قضايا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگي اثباتشان مي‌پردازد اما در رياضيات كاربردي چگونه استفاده كردن و به كارگرفتن قضايا، آموزش داده مي‌شود، به عبارت ديگر در اين شاخه، كاربرد رياضيات در مسائل موجود در جامعه بيان مي‌گردد»

«وقتي صحبت از رياضي محض مي‌شود نبايد تصور كرد كه تنها بايد در گوشه‌اي نشست و به حل مسائل رياضي پرداخت بلكه اين علم ، بخصوص در مدارج بالا، ارتباط نزديكي با طبيعت دارد به عبارت ديگر ايده‌هاي رياضي از ذهن پژوهشگران نمي‌رويد بلكه رياضيدانها غالبا الهام خود را از طبيعت مي‌گيرند و به قول «ژان باپتيت فوريه» رياضيدان مشهور قرن نوزدهم فرانسه «تعمق در طبيعت، پربارترين منابع اكتشافات رياضي است.»

عموما رياضيات كاربردي به شاخه‌اي از رياضي گفته مي‌شود كه كاربرد علمي مشخصي داشته باشد براي مثال در اقتصاد، كامپيوتر،‌فيزيك و يا آمار و احتمال كاربرد داشته باشد و رياضي محض نيز به شاخه‌اي گفته مي‌شود كه به نظريه‌پردازي رياضي مي‌پردازد اما بايد توجه داشت كه امروزه اين دو گرايش آن‌چنان در هم ادغام شده‌اندكه مرزي را نمي‌توان بين آنها مشخص كرد.

زيا گاه يك تئوري كاملا محض وارد مرحله كاربردي شده و چون در عمل با مشكل روبرو مي‌شود، بار ديگر به حوزه تئوري برمي‌گردد و در نهايت پس از رفع نقايص، دوباره وارد مرحله كاربردي مي‌شود. يعني يك تعامل و ارتباط دوجانبه‌اي بين رياضي كاربردي و محض وجود دارد و هريك از اين دو شاخه، از تجربيات شاخه ديگر به بهترين نحو استفاده مي‌كند و به همين دليل يك رياضيدان موفق بايد از هر دو شاخه اطلاع داشته باشد.»

معرفي مختصري از درسهاي تخصصي گرايش رياضي كاربردي
رياضيات گسسته: هدف از اين درس، آشنايي با زمينه‌هاي مختلف رياضيات گسسته و كاربردهاي آن با تاكيد بر اثبات و ارائه الگوريتمهاي مناسب است. سرفصلهاي اين درس عبارتنداز : معادله تفاضلي و رابطه بازگشتي ، تابع مولد، اصل شمول و طرد، گراف و ماتريس، تطابق و ديگر كاربردهاي گراف، جبربول و كاربردهاي آن و آشنايي با طرحهاي بلوكي، مربع لاتين، صفحه‌هاي تصويري ، كدگذاري و رمزنگاري.

برنامه‌سازي پيشرفته : در اين درس، دانشجويان به مباحثي همچون برنامه‌سازي صحيح ،‌ مستند سازي برنامه‌ها ، برنامه‌سازي ساخت يافته، آشنايي با زبان دوم برنامه‌سازي و مقايسه آن با زبان اول، اشكال‌زدايي و آزمايش برنامه، حصول اطمينان از صحت برنامه‌ها ، الگوريتمهاي غير عددي شامل : پردازش رشته‌ها، روشهاي جستجو و مرتب كردن ، آشنايي مقدماتي با كامپايلرها و ديگر برنامه‌هاي مترجم، اجراي طرحهاي بزرگ و ... مي‌پردازند.

آناليز عددي: هدف از اين درس، ارائه الگوريتمهاي عددي و بررسي خطاهاي ايجاد شده از حل عددي مسائل است. در خصوص روشهاي تكراري، بررسي همگرايي و نرخ همگرايي نيز مورد تاكيد مي‌باشند. در اين درس سرفصلهاي موجود عبارتند از : نمايش اعداد حقيقي، انواع مختلف خطاها، آناليز خطاها ، حل معادلات خطي، مشتق و انتگرال‌گيري عددي و حل معادلات ديفرانسيل عددي و ... .

ساختمان داده‌ها: در اين درس، دانشجويان با آرايه‌ها ، بردارها، ماتريسها ، صفها و رديفا، ليستهاي پيوندي ، خطي، حلقوي ، روش نمايش و كاربرد ليستهاي پيوندي ، درختها و پيمايش‌ آنها، روش نمايش و كاربرد درختها، درختهاي تصميم‌گيري ، گرافها و نمايش آنها، تخصيص حافظه به صورت پويا و مسائل مربوط آشنا مي‌شوند.

تحقيق در عمليات: در اين درس ، دانشجويان با زمينه تحقيق در عمليات، انواع مدلها و مدلهاي رياضي، برنامه‌ريزي خطي، شبكه‌ها و مدل حمل و نقل، ساير مدلهاي مشابه، آشنايي با برنامه‌ريزي متغيرهاي صحيح ،‌برنامه‌ريزي پويا، برنامه‌ريزي غيرخطي و مدلهاي احتمالي آشنا مي‌گردند.

آينده شغلي ، بازار كار ، درآمد:

«كاربرد رياضي در علوم مختلف انكارناپذير است. براي مثال مبحث آناليز تابعي در مكانيك كوانتومي، كاربرد بسياري زيادي دارد و يا در بيشتر رشته‌هاي مهندسي معادله «لاپ لاسي» كه يك معادله رياضي است، مورد استفاده قرار مي‌گيرد. در جامعه‌شناسي نيز نظريه احتمال و نظريه گروهها نقش بسيار مهمي ايفا مي‌كند. در كل بايد گفت كه همه صنايع ،‌زير ساخت رياضي دارند و به همين دليل در همه مراكز صنعتي و تحقيقاتي دنيا، رياضيدانها در كنار مهندسان و دانشمندان ساير علوم حضوري فعال دارند و آنچه در نهايت ارائه مي‌شود، نتيجه كار تيمي آنهاست.»

دكتر رياضي از اساتيد دانشگاه در مورد فرصت‌هاي شغلي موجود در ايران مي‌گويد:

«اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمي داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهي رياضيدان نياز خواهيم داشت چون يك رياضيدان مي‌تواند مشكلات را به روش علمي حل كند. البته اين به آن معنا نيست كه در حال حاضر هيچ فرصت شغلي براي يك رياضيدان وجود ندارد اما بايد حضور رياضيدانها در مراكز تحقيقاتي و صنعتي پررنگتر باشد.»

هرچقدر كه شغل يك فرد تخصصي‌تر شود، ميزان رياضياتي كه لازم دارد، بيشتر مي‌گردد.

براي مثال يك مهندس الكترونيك از آناليز تابعي و فرآيندهاي تصادفي استفاده مي‌كند و يا يك برنامه‌ريز پروژه‌هاي اقتصادي از مطالب پيشرفته آماري مانند سريهاي زماني ، به عنوان ابزار كار ياري مي‌گيرد. به همين دليل امروزه تربيت متخصصان علم رياضي، يعني افرادي كه قادر هستند رياضيات مورد نياز را آموزش داده و يا توليد كنند، اهميت بسيار زيادي دارد. چرا كه لازمه پيشرفت در تكنولوژي ، توجه به دانش رياضي مي‌باشد.

اما يكي از دانشجويان اين رشته نظر جالبي در مورد توانايي يك فارغ‌التحصيل رشته رياضي دارد:

«درست است كه در جامعه ما مكان مشخصي براي جذب فارغ‌التحصيلان رياضي وجود ندارد اما يك ليسانس رياضي به دليل نظم فكري و بينش عميقي كه در طي تحصيل به دست مي‌آورد، مي‌تواند با مطالعه و تلاش شخصي در بسياري از شغل‌ها ، حتي شغل‌هايي كه در ظاهر ارتباطي با رياضي ندارد موفق گردد.»

توانايي‌هاي مورد نياز و قابل توصيه :

شايد مهمترين توانايي علمي يك دانشجوي رياضي ، تسلط بر درس رياضي دبيرستان ‌باشد كه اين امر صرفا زاييده علاقه شخصي به اين درس است.

«اين رشته نيازمند دانشجوياني است كه از نظر ذهني آمادگي جذب ايده‌هاي جديد را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درك كرده و مسائل غيرمتعارف را حل كنند. به عبارت ديگر يك روحيه علمي ، تفكر انتقادي و توانايي تجزيه و تحليل داشته باشند.»

از آنجا كه رياضيات ورود به عرصه‌هاي ناشناخته و كشف قوانين آن است ، علاقمندي به مباحث رياضي از همان دوران تحصيل در دبيرستان مشخص مي‌شود. همين علاقمندي است كه مي‌تواند راه‌هاي بسيار سخت را براي دانشجوي اين رشته هموار سازد.

يك رياضيدان قبل از هرچيز بايد جرات قدم‌گذاري در وادي ناشناخته‌ها را داشته باشد.

بطور كلي دقت ،‌تجزيه و تحليل صحيح و صبر و پشتكار سه عامل اصلي در توفيق داوطلب در اين رشته مي‌باشد.

وضعيت نياز كشور به اين رشته در حال حاضر:

دكتر بابليان معتقد است هر وزارتخانه يا شركتي نياز به افرادي دارد كه علاوه بر دانستن الفباي كامپيوتر، داراي توانايي تجزيه و تحليل و تصميم‌گيري مناسب باشند. در اين زمينه شركتها مي‌توانند فارغ‌التحصيلان رياضي محض و يا كاربردي را جذب نمايند.

رشته‌هاي مختلف رياضي جايگاه وسيعي در جامعه دارند از آن جمله : تمام رشته‌هاي مهندسي ، رشته‌هاي مختلف علوم پايه (فيزيك ، شيمي ،‌زيست‌شناسي، زمين شناسي)، پزشكي، علوم كامپيوتر، اكتشافات فضايي،‌ بازرگاني، برنامه‌ريزيهاي دولتي، غالب رشته‌هاي وابسته به صنعت ، مديريت و رشته‌هاي مختلف كشاورزي به رشته رياضي وابسته‌اند و از آن به طور مستقيم استفاده مي‌كنند؛‌ همچنين بخش بزرگي از فعاليتهاي اقتصادي و توليدي كشور در طرحهاي مختلف نظير: نفت ، پتروشيمي، حمل و نقل و ... ، مستقيم و يا غيرمستقيم از رياضي استفاده مي‌كنند.

نكات تكميلي :

گرايشهاي مختلف مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري

فارغ‌التحصيلان مقاطع كارشناسي رياضي كاربردي مي‌توانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف: تحقيق در عمليات ، آناليز عددي ، بهينه سازي و نظريه كنترل به تحصيل ادامه دهند. فارغ‌التحصيلان كارشناسي رياضي محض و دبيري مي‌توانند در مقاطع كارشناسي ارشد در گرايشهاي مختلف آناليز رياضي، جبر، هندسه و معادلات ديفرانسيل ادامه تحصيل دهند. در هر يك از گرايشهاي ياد شده زير شاخه‌هاي تخصصي‌تري وجود دارد كه در مقطع دكتراي تخصصي (P.h.D) و نيز در رساله دكتري به آن پرداخته مي‌شود.

تواناييهاي فارغ‌التحصيلان مقاطع كارشناسي ارشد و دكتري

نظر به اين كه در مقاطع تحصيلات تكميلي به جنبه‌هاي پژوهشي، تحقيقاتي و كاربردي با ديدي عميقتر پرداخته مي‌شود، فارغ‌التحصيلان اين مقاطع داراي تواناييهاي علمي و تحقيقاتي و محاسباتي زيادي هستند و در كارهاي اجرايي نقش مهم و ارزنده‌اي دارند. در مقطع دكتري، دانشجويان ضمن افزايش مراتب علمي خود در يك زمينه خاص، قدرت ، توان و صلاحيت خود را در جهت انجام طرحهاي تحقيقاتي در سطح ملي و منطقه‌اي افزايش مي‌دهند و قادر به توسعه مرزهاي دانش و رفع معضلات علمي و اجرايي از طريق پژوهش مي‌باشند. فارغ‌التحصيلان مقاطع تحصيلات تكميلي مي‌توانند با توجه به تخصص ويژه خود، در مراكز علمي و پژوهشي، مراكز تحقيقاتي، دانشگاهها و صنايع و مراكز آموزش عالي به عنوان عضو هيات علمي يا عضو پژوهشي جذب گردند.

خوشبختانه با رويكرد صنايع و موسسات به انجام امور تحقيقاتي، هم‌اكنون امكان جذب بسياري از فارغ‌التحصيلان تحصيلات تكميلي رشته‌هاي رياضي ، فراهم شده است.

هندسه3

هندسه نا اقلیدسی ، تلاشهای اولیه

نیکلای لوباچفسکی

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.

خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی - که راجع به آنها در آینده صحبت خواهیم کرد - اصلی وجود دارد به اینصورت : "از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی - در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند - به موازات آن خط رسم کرد".

در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

"از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد"

هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

هندسه2

هندسه يكي از شاخه هاي مهم رياضي است و از جمله كاربردهاي آن مي توان به ساده سازي فهم مسائل مشكل رياضي اشاره كرد. اكثر دستورات هندسي در نرم افزار ميپل در دو بسته قرار دارد: بسته "geometry" كه شامل دستورات هندسه اقليدسي دوبعدي است و بسته "geom 3d" كه مربوط به بحثهاي هندسه اقليدسي سه بعدي مي باشد.

نقطه

اولين مفهوم و تعريف در زمينه هندسه دو بعدي و مسطحه مربوط به نقطه مي باشد. نقطه(x,y) با استفاده از دستور "point" تعريف مي شود. براي تعريف يك نقطه توسط اين دستور، ابتدا نامي براي نقطه در نظر مي گيريم و سپس مختصات آنرا همانگونه كه در رياضيات عمل مي كنيم ميآوريم.( يعني اول مختص x و سپس مختص y) در مثال زير دو نقطه با نامهاي "A" و "B" تعريف شده اند:

اگر نياز باشد كه نقاط تعريف شده در دستگاه مختصات رسم شوند مي توانيد اين كار را با استفاده از دستور "pointplot" انجام دهيد. در مثال زير براي اينكه با نحوه رسم دو نقطه جديد نيز آشنا شويد، اين كار را با دو نقطه كه در خود دستور رسم تعريف شده اند، در نظر مي گيريم: ( از آنجا كه قصد داريم بيش از يك نقطه را رسم كنيم پس همه نقاط مفروض را بايستي در درون آكولاد قرار دهيم.)

  

خط

فرمت كلي تعريف خط مانند تعريف نقطه است، بدين صورت كه ابتدا نام خط و سپس دو نقطه اي كه خط از آنجا مي گذرد را مي آوريم. توجه كنيد كه در اينجا هم مي توان نقاط را قبلا تعريف كرد و از اسم آنها براي مشخص كردن خط استفاده كرد و هم دو نقطه مورد نظر را در خود دستور تعريف خط آورد. در مثال زير با استفاده از دستور "line" خطي كه از دو نقطه A و B كه در مثال قبل تعريف شده بودند مي گذرد، مشخص شده است و سپس با استفاده از دستور "form" از ميپل پرسيده ايم كه خط تعريف شده توسط ما چه حالتي دارد كه جواب داده است : دو بعدي. اين دستور هنگامي كه معادله خط براي ما نا آشنا و گنگ باشد كارايي خواهد داشت.

حالا اگر بخواهيم معادله خط تعريف شده قبلي را داشته باشيم، اين كار با استفاده از دستور "Equation" براحتي امكان پذير خواهد بود. در تمام هندسه، اين دستور هميشه معادله را نتيجه مي دهد.

دقت كنيد كه حتما حرف "E" اين دستور بايد بزرگ باشد.

هميشه هنگامي كه از ميپل مي خواهيد كه معادله اي را نتيجه دهد، از شما در مورد متغير هاي آن معادله سوال مي كند. همانطور كه در مثال زير مي بينيد، ابتدا متغيري براي محورهاي افقي و سپس متغيري براي محورهاي عمودي خواسته شده كه ايكس به عنوان متغير افقي و واي به عنوان متغير محور عمودي در نظر گرفته شده است.

تا اينجا ما خطوط را با استفاده از دو نقطه اي كه از آن مي گذرند، تعريف كرديم. حالا مي خواهيم تعريف خط را با استفاده از معادله آن انجام دهيم. انجام اين كار نيز به همان روش تعريف خط با استفاده از نقطه مي باشد يعني اول نام خط و سپس معادله آن.

در مثال زير دو خط به طور همزمان تعريف شده اند، پس براي هريك از آنها در مورد متغير محور افقي و عمودي سوال مي شود.

 

با استفاده از دستور "Equation" معادله خط " L 1 " را بدست مي آوريم:

اگر نياز داشته باشيد كه يك پاره خط تعريف كنيد اين كار توسط دستور "segment" امكان پذير است. در اينجا ابتدا دو نقطه تعريف شده اند و سپس پاره خطي كه شامل آندو نقطه باشد، تعيين شده است. بعد از آن فرم اين پاره خط درخواست شده:

اگر نباز باشد كه نقاط ابتدايي و انتهايي اين پاره خط را داشته باشيم مي توانيم از دستور زير استفاده كنيم و چون نقاط انتهايي پاره خط تعريف شده در مثال بالا را نياز داريم، از علامت درصد استفاده مي كنيم:

آخرين نكته در مورد خط، رسم آن مي باشد. براي اين كار ابتدا بسته "plottools" بايد بار شود. زيرا دستور رسم خط در آن قرار دارد. در مثال زير نام خط "l" تعيين شده است، رنگ آن قرمز و بريدگي هاي آن 3 واحد تعيين شده است. با استفاده از دستور "display" اين خط رسم شده:

دايره

دايره را مي توان به شكلهاي مختلفي در ميپل تعريف كرد، از جمله معادله دايره، مختصات مركز و اندازه شعاع، سه نقطه از دايره و دونقطه و قطر آن.

همانطور كه گفته شد، هنگامي كه ميپل معادله اي را تعريف مي كند از كاربر براي متغير محور افقي و عمودي شوال مي كند. براي اينكه قبل از پرسش ميپل به آن جواب داده باشيم، يعني در همان ابتدا تعيين كنيم كه متغير محورهاي افقي و عمودي چه هستند، روشي وجود دارد كه آنرا در زير مي بينيد. (با تعيين متغير محورها درواقع كار را از همان ابتدا بطور اصولي آغاز مي كنيم.) "Env HarizontalName_" متغير محور افق را معين مي كند و "EnvVerticalName_" متغير محور عمودي را تعيين مي كند. به بزرگي و كوچكي حروف دقت كنيد:

در مثال زير يك دايره با استفاده از سه نقطه آن و توسط دستور" circle " و با نام "c1" تعريف شده است. در اين مثال نام مركز دايره را "o" گذاشته ايم:

اگر بخواهيم به مركز و مختصات مركز اين دايره دسترسي داشته باشيم، مي توانيم از دستورات زير استفاده كنيم. كافيست نام دايره را در آنها ذكر كنيم. اين دو دستور هنگامي كه دايره را با استفاده از معادله آن تعريف مي كنيم كاربرد بيشتري خواهند داشت.

از آنجا كه دايره را با استفاده از سه نقطه آن تعريف كرده ايم، حالا مي خواهيم معادله آنرا داشته باشيم. درست است بايد از دستور "Equation" استفاده كنيم. در اينجا چون قبلا متغيرهاي محور هاي مختصات را معرفي كرده بوديم، هنگامي كه از اين دستور استفاده مي كنيم ديگر سوالي در مورد نوع متغير محور ها نمي شود.

بيضي

براي تعريف بيضي نيز مانند دايره ابتدا متغيرهاي محور هاي مختصات معرفي شده اند و سپس با استفاده از دستور "ellipse" يك بيضي با نام "e 1" تعريف شده است. در اينجا بيضي توسط معادله آن تعريف شده است.

مانند دايره، مركز بيضي و مختصات آنرا بدست مي آوريم:

همانطور كه در فيزيك آموخته ايم هر آينه مقعر داراي يك كانون است كه بر روي محور آن قرار دارد. بيضي نيز در واقع مانند دو آينه مقعر است كه به هم چسبيده باشند. پس هر بيضي دو كانون دارد. براي بدست آوردن اين كانونها در ميپل دستور "foci" وجود دارد. با استفاده از دستور "map-coordinates" مختصات كانونها نيز بدست مي آيند.

قطر بزرگ و كوچك بيضي نيز با استفاده از دستورهاي "Major Axis" براي قطر بزرگ و "MinorAxis" براي قطر كوچك محاسبه مي شوند به بزرگي و كوچكي حروف دقت كنيد:

   

مثلث

مثلث را ميتوان با مشخص بودن سه نقطه، طول سه ضلع يا طول دو ضلع و زاويه بين آندو و بر حسب راديان، معرفي نمود. اين كار با استفاده از دستور "triangle" انجام مي شود. به تعريف مثلث با استفاده از سه نقطه توجه كنيد:

براي بدست آوردن طول اضلاع مثلث نيز دستوري وجود دارد:

اين دستور در ميپل همواره طول اضلاع را نتيجه مي دهد.

در مثال زير ابتدا يك مثلث تعريف شده و سپس رسم شده است:

 

مربع و مستطيل

براي تعريف مربع و مستطيل به ترتيب دستورات "square" با معلوم بودن چهار نقطه و "rectangle" با معلوم بودن مختصات يك قطر و يا چهار ضلع قابل تعريف است. در مثال زير يك مربع با نام"S Q" و با استفاده از چهار نقطه تعريف شده است و سپس قطر مربع و طول اضلاع آن مشخص شده اند:

مي توان با استفاده از دستور زير مختصات گوشه هاي مربع را نيز بدست آورد:

در مثال زير ابتدا يك مستطيل با نام "c" تعريف شده و سپس رسم شده است. به اين مثال توجه كنيد:

 

هندسه1

هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

تاریخچه هندسه

واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

هندسه اقلیدسی

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف میشود و پنچ اصل به عنوان بدیهیات آن پذیرفته میشود و سایر قضایا با استفاده از این اصول استنتاج میشوند.

اصول

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

ایراد اصل پنجم

اصل پنجم که به اصل توازی معروف است ایجاز سایر اصول را نداشت،جون به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید

یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود

و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی
ولی یانوش جوان از اخطار پدر نهراسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است

بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

پیوندهای خارجی

WWW.CPH-THEORY.COM (cache)